Fakultet och antal kombinationer

Anta att du har tre bollar. En röd, en gul och en grön. På hur många sätt kan du lägga dessa tre bollar på en rad? Vi prövar:

röd      gul       grön

gul      grön      röd

grön     röd       gul

röd      grön      gul

gul       röd       grön

grön      gul       röd

6 olika sätt! Bollen längst till vänster kan väljas på 3 olika sätt (grön, gul eller röd). Bollen i mitten kan väljas på 2 olika sätt (någon av de två bollar som blir kvar när man valt bollen till vänster). Bollen längst till höger kan väljas på 1 enda sätt, för det är den som blir kvar.

Vi räknar därför 3 * 2 * 1 = 6

Detta heter också 3 fakultet och skrivs 3!

Hade vi haft fyra bollar med olika färg hade det blivit 4 * 3 * 2 * 1 = 24 olika sätt.

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120  och så vidare

Fakulteter är inte viktiga bara i detta sammanhang, utan de dyker upp i talserier och trigonometri och bland komplexa tal där man minst anar det...

 

Fyrfärgsfält

Hur många färger krävs det som minst för att färglägga alla typer av kartor?

Om man har som krav att kartan inte får ha gränser med samma färg på båda sidor, men man tillåter att samma färg möts i ett hörn så är svaret fyra färger om man vill vara alldeles säker på alla tänkbara varianter. Det går att bevisa matematiskt och det gjordes med hjälp av datorer.

Bilden visar ett exempel på hur fyra färger räcker för en påhittad karta.

Det tidigaste matematiskt hållbara beviset för många färger som säkert som minst krävs var fem färger, och det tog 86 år innan det riktiga beviset för att det räcker med fyra presenterades. 

Denna del inom kombinatoriken kallas grafteori.